一般我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件。

狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。

那么，什么情况下不连续呢？

给定一个函数f（x），如果x0是函数f(x)的间断点，并且f(x)在x0处的左极限和右极限均存在的点称为第一类间断点。若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。需要注意的是，可去间断点需满足f（x）在x0处无定义，或在x0处有定义但不等于函数 f（x）在x0的左右极限。

第一类间断点

可去间断点

上图中的间断点，是人为制造的，可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数。可去间断点也属于第一类间断点。

将 -pi,0,pi三个间断点代入f(x)的表达式，即可得出函数值等于0，确实等于

函数f(x)和展开后的函数S(x)的图像如下图：

下面转载一篇关于傅里叶级数在间断点收敛的证明文章：

三角函数求和式

证明如下：

由此得到：