一、圆的有关性质

1.圆的有关概念

（1）定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O，旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（3）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

2.垂直于弦的直径

（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3.弧、弦、圆心角

（1）圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

（2）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4.圆周角

（1）定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（3）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

二、点和圆、直线和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

设O的半径为r，点P到圆心的距离为d：

（1）点P在O外，d>r;

（2）点P在O上，d=r;

（3）点P在O内，d<r.

2.三角形的外接圆

（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

（2）三角形的外接圆的有关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

（3）三角形外接圆的作法

<1>确定圆心：三角形两边的垂直平分线的交点即为圆心；

<2>确定半径：交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径。

（4）反证法：证明一个命题时,不是直接从命题的己知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法.

3.直线和圆的位置关系

（1）相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

（2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,公共点叫做切点。

（3）相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。

（4）直线和圆的位置关系

<1>相交：公共点个数，2个；公共点名称，交点；直线名称，割线；圆心O到直线的距离d与半径r的关系，d<r;

<2>相切：公共点个数，1个；公共点名称，切点；直线名称，切线；圆心O到直线的距离d与半径r的关系，d=r;

<3>相离：公共点个数，0；公共点名称，无；直线名称，无；圆心O到直线的距离d与半径r的关系，d>r;

4.圆的切线

（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

5.切线长

（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

6.切线的判定和性质的应用

（1）辅助线的作法：运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。

（2）证明直线与圆相切的三种途径

①证明直线和圆有唯一公共点。

②证明直线过半径外端且垂直于这条半径。

③证明圆心到直线的距离等于圆的半径。

7.三角形的内切圆

（1）概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）作法：

<1>确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为圆心；

<2>确定半径：交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。

8.圆和圆的位置关系(R、r分别为大、小圆的半径，d为圆心距)

（1）相离

<1>外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离；d>R+r；公共点数，无。

<2>内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含，两个圆的圆心重合时，我们称这两个圆是同心圆；d<R+r(内含)，d=0(同心圆)；公共点数，无。

（2）相切

<1>外切：两个圆有唯一的公共点，并且除这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切；d=R+r；公共点数，1个。

<2>内切：两个圆有唯一的公共点，并且除这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切；d=R-r；公共点数，1个。

（3）相交：两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交；R-r<d<R+r；公共点数，2个。

三、正多边形和圆

1.有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

2.正多边形的画法：正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。

3.正多边形的计算

设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r，边长为a，则：

（1）内角：；

（2）中心角：；

（3）半中心角：；

（4）半径：;

（5）周长：；

（6）面积：.

四、弧长和扇形面积

1.弧长公式：圆心角所对的弧长.

2.扇形的面积公式：圆心角为的扇形面积是.

3.母线的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

4.圆锥侧面相关计算

设圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，则：

圆锥侧面积：.

圆锥的全面积：.